Готовим дрожжевое тесто.В тёплое молоко (не выше 40°C) добавьте соль, сахар и сухие дрожжи. Перемешайте и оставьте на 5–7 минут, чтобы дрожжи активировались (появится пенка).
Замешиваем тесто.Добавьте яйцо и растопленное сливочное масло. Хорошо перемешайте венчиком. Начинайте по частям всыпать просеянную муку. Замесите мягкое, нежное, эластичное тесто. Оно должно быть чуть липковатым, но не забитым мукой. Слишком тугое тесто даст жёсткие пирожки.
Расстойка.Соберите тесто в шар, положите в миску, накройте чистым полотенцем или плёнкой. Уберите в тёплое место без сквозняков на 40–60 минут. Тесто должно увеличиться вдвое.
Готовим начинку.Картофель очистите, отварите до готовности в подсоленной воде. Слейте воду, оставив немного для пюре.
Жарим лук.Пока варится картофель, мелко нарежьте лук. Обжарьте на растительном масле до золотистого цвета, примерно 5–7 минут.
Делаем пюре.Горячий картофель разомните толкушкой. Добавьте обжаренный лук (вместе с маслом), сливочное масло и тёплое молоко. Тщательно перемешайте до однородности. Посолите, поперчите, попробуйте. Начинка должна быть чуть солонее, чем обычно — так вкус будет чувствоваться в пирожках.
Формуем пирожки.Рабочую поверхность припылите мукой. Подошедшее тесто обомните. Отрезайте небольшие кусочки, раскатывайте в лепёшки толщиной около 0,5 см. В середину выкладывайте остывшую начинку (не горячую, иначе тесто "поплывёт"). Защипывайте края, формируя пирожок любой формы (овальные, круглые — как вам нравится).
Выкладываем на противень.Противень смажьте растительным маслом или застелите пергаментом. Выложите пирожки швом вниз, на расстоянии друг от друга — они ещё поднимутся.
Расстойка перед выпечкой.Оставьте пирожки на противне на 15–20 минут под полотенцем, чтобы они немного подошли.
Смазываем.Взбейте яйцо вилкой. Кисточкой аккуратно смажьте каждый пирожок — это даст красивый румяный цвет.
Выпекаем.Поставьте противень в разогретую до 180°C духовку. Выпекайте 20–25 минут до золотистого цвета.
Подача.Готовые пирожки смажьте кусочком сливочного масла (по желанию) и накройте полотенцем на 5–10 минут, чтобы они стали мягче. Подавайте тёплыми.